讓我們分析一下導(dǎo)熱徽分方程式

　　運(yùn)用傅里葉定律只能求解一維導(dǎo)熱的問題，對多維溫度場，則要以傅里葉定律和能量守恒定律為基礎(chǔ)，建立導(dǎo)熱微分方程式，然后求解。由導(dǎo)熱微分方程式再根據(jù)一些單值條件，有時(shí)可以得到解析解，但許多情況下只能得到近似解。

　　推導(dǎo)導(dǎo)熱微分方程式時(shí)，我們認(rèn)為物體的物性人、P(比都是常量。如圖3-5，在物體內(nèi)取一微元體，各邊長為dx，山。在dr時(shí)間內(nèi)，沿x軸方向從左進(jìn)人微元體中的熱量，根據(jù)傅里葉定律。

　　二維穩(wěn)定態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值解法

　　利用導(dǎo)熱微分方程式在給定的邊界條件下求解，只有一些不太復(fù)雜的情況下才有可能，因此對于更復(fù)雜的多維溫度場，一般只能用某些近似解法。下面簡要介紹加熱爐用張弛法求解的有限差分法，它以聯(lián)立求解一組差分方程式代替對微分方程式的積分求解，在應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)以后，解聯(lián)立方程式是輕而易舉的。從而使一些復(fù)雜的導(dǎo)熱問題能夠得到數(shù)值解。

　　把一個(gè)具有二維溫度場的物體(二軸方向無溫度變化)。按等距離分成若干網(wǎng)格，如圖3-6所示。網(wǎng)格的交叉點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，取出其中一部分，得到若干相等的單元體1，2，3，4，單元體的邊長分別等于dx和勻，厚度均為AZ，節(jié)點(diǎn)上相應(yīng)的溫度分別為tO，t，，t2，t:和t，溫度不隨時(shí)間而變，這說明在穩(wěn)定態(tài)下，流向任何節(jié)點(diǎn)的熱量總和為零。現(xiàn)在來分析單元體0的熱量平衡關(guān)系，可得設(shè)所分析的物體共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則同理可以得到n個(gè)差分方程式，聯(lián)立求解，就能解出，個(gè)節(jié)點(diǎn)的沮度。張弛法就是解聯(lián)立方程的方法之一。網(wǎng)格劃分得越細(xì)，結(jié)果越接近實(shí)際的溫度分布。

　　由于節(jié)點(diǎn)數(shù)目很多，張弛法解聯(lián)立方程**用手算很麻煩，但此法能較好地揭示有限差分法的物理實(shí)質(zhì)，其具體步驟如下:

　　(1)假定各節(jié)點(diǎn)的溫度值，如to，t)，t2，t7，t。等。

　　(2)將溫度的初步假定值代入式(3-16)，由于估計(jì)的溫度值不可能很**，故式子的右側(cè)不為零而有某個(gè)余數(shù)Q‘，求出各節(jié)點(diǎn)的余數(shù)。

　　 (3)對有余數(shù)的各節(jié)點(diǎn)，取其余數(shù)的1/4作為溫度值的改變量，其符號與余數(shù)的正負(fù)號一致，使各節(jié)點(diǎn)的余數(shù)張弛為零。

　　 (4)再計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的溫度又有新的余數(shù)。再按上述辦法改變余數(shù)的1/4。重復(fù)進(jìn)行。直到所有余數(shù)都接近零為止。